Giải Toán 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn là một bài toán quan trọng trong việc nâng cao khả năng giải toán...

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn là một bài toán quan trọng trong việc nâng cao khả năng giải toán và học tốt môn Toán 9. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải quyết các bài tập trong SGK Toán 9 bài 1, từ đó hiểu rõ hơn về sự xác định đường tròn và tính chất đối xứng của đường tròn. Hãy cùng khám phá chi tiết!

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 1 trang 98

Trên hình 53, chúng ta có điểm H nằm bên ngoài đường tròn (O) và điểm K nằm bên trong đường tròn (O). Chúng ta cần so sánh góc (OKH) và góc (OHK).

Lời giải:

Chúng ta có OH > R > OK (với R là bán kính đường tròn).

Do đó, ta có ∠(OKH) > ∠(OHK) (góc đối diện với cạnh lớn hơn thì góc đó lớn hơn).

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 1 trang 98

Cho hai điểm A và B.

a) Hãy vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó.

b) Có bao nhiêu đường tròn như vậy? Tâm của chúng nằm trên đường nào?

Lời giải:

a)

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

b) Có vô số đường tròn đi qua hai điểm A và B. Tâm của chúng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 1 trang 98

Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy vẽ đường tròn đi qua ba điểm đó.

Lời giải:

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 1 trang 99

Cho đường tròn (O), A là một điểm bất kì thuộc đường tròn. Vẽ A’ đối xứng với A qua O (h.56). Chứng minh rằng điểm A’ cũng thuộc đường tròn (O).

Lời giải:

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Do A' đối xứng với A qua O nên O là trung điểm của AA'. ⇒ OA = OA' = R

⇒ A' cũng thuộc đường tròn (O)

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 1 Bài 1 trang 99

Cho đường tròn (O), AB là một đường kính bất kì và C là một điểm thuộc đường tròn. Vẽ C’ đối xứng với điểm C qua AB (h.57). Chứng minh rằng điểm C’ cũng thuộc đường tròn (O).

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Lời giải:

Do C và C' đối xứng nhau qua AB nên AB là đường trung trực của CC'

⇒ O nằm trên đường trung trực của CC'

⇒ OC = OC' = R

⇒ C' cũng thuộc đường tròn (O)

Bài 1 (trang 99 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Lời giải:

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có OA = OB = OC = OD (tính chất) nên bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn (tâm O, bán kính OA)

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông ABC có:

AB² = AC² + BC²

⇒ 12² = AC² + 5²

⇒ AC² = 144 - 25 = 119

⇒ AC = √119 cm

Nên bán kính đường tròn là OA = 1/2 AC = 1/2 √119 cm ≈ 6.5 cm

Bài 2 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

(1) Nếu tam giác có ba góc nhọn

(4) Thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên ngoài tam giác

(2) Nếu tam giác có góc vuông

(5) Thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm bên trong tam giác

(3) Nếu tam giác có góc tù

(6) Thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh lớn nhất

(7) Thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là trung điểm của cạnh nhỏ nhất

Lời giải:

  • Nối (1) - (5)
  • Nối (2) - (6)
  • Nối (3) - (4)

Bài 3 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 1)

Chứng minh các định lí sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC.

Ta có OA là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OA = OB = OC.

⇒ O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔABC là trung điểm của cạnh huyền BC. (đpcm)

b) Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC, ta có:

OA = OB = OC

Tam giác ABC có đường trung tuyến OA bằng nửa cạnh BC nên suy ra tam giác ABC vuông tại A. (đpcm)

Bài 4 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 1)

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm A(-1; -1), B(-1; -2), C(√2; √2) đối với đường tròn tâm O bán kính 2.

Lời giải:

Gọi R là bán kính của đường tròn O: R = 2

Ta có:

OA² = (-1)² + (-1)² = 2 ⇒ OA = √2 < R

⇒ A nằm bên trong (O)

OB² = (-1)² + (-2)² = 5 ⇒ OB = √5 > R

⇒ B nằm bên ngoài (O)

OC² = (√2)² + (√2)² = 4 ⇒ OC = 2 = R

⇒ C nằm trên (O)

Bài 5 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 1)

Đố: Một tấm bài hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó.

Lời giải:

  • Cách 1:
  • Lấy 3 điểm bất kì trên hình tròn. Vẽ hai dây AB và AC.
  • Vẽ đường trung trực của AB và AC. Giao điểm O của đường trung trực này chính là tâm của hình tròn.

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

  • Cách 2:
  • Gấp tấm bìa sao cho hai phần của hình tròn trùng nhau, nếp gấp là một đường kính.
  • Lại gấp như trên theo nếp gấp khác, ta được một đường kính thứ hai. Giao điểm của hai đường kính này là tâm của đường tròn.

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Bài 6 (trang 100 SGK Toán 9 Tập 1)

Trong các biển báo giao thông sau, biển báo nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đối xứng?

a) Biển cấm đi ngược chiều? (h.58)

b) Biển cấm ô tô (h.59)

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Lời giải:

  • Hình 58 có tâm đối xứng là tâm đường tròn, có hai trục đối xứng là hai đường kính vuông góc với các cạnh của hình chữ nhật trong đường tròn.
  • Hình 59 có một trục đối xứng, không có tâm đối xứng.

Bài 7 (trang 101 SGK Toán 9 Tập 1)

Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

(1) Tập hợp các điểm có khoảng cách đến điểm A cố định bằng 2cm

(4) Là đường tròn tâm A bán kính 2cm

(2) Đường tròn tâm A bán kính 2cm gồm tất cả những điểm

(5) Có khoảng cách đến điểm A nhỏ hơn hoặc bằng 2cm

(3) Hình tròn tâm A bán kính 2cm gồm tất cả những điểm

(6) Có khoảng cách đến điểm A bằng 2cm

(7) Có khoảng cách đến điểm A lớn hơn 2cm

Lời giải:

  • Nối (1) - (4)
  • Nối (2) - (6)
  • Nối (3) - (5)

Bài 8 (trang 101 SGK Toán 9 Tập 1)

Cho góc nhọn xAy và hai điểm B, C thuộc tia Ax. Dựng đường tròn (O) đi qua B và C sao cho tâm O nằm trên tia Ay.

Lời giải:

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

  • Tâm O là giao điểm giữa đường trung trực của BC và tia Ay. Nên ta có cách dựng:
  • Dựng đường trung trực (d) của BC. (d) cắt tia Ay tại O.
  • Vẽ đường tròn (O, OB). Đường tròn này đi qua B, C. Đó là đường tròn cần dựng.
  • Chứng minh:
  • Vì O ∈ đường trung trực (d) của BC nên OB = OC. Suy ra (O, OB) đi qua B, C
  • Vì O ∈ Ay nên (O, OB) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài 9 (trang 101 SGK Toán 9 Tập 1): Đố

a) Vẽ hình hoa bốn cánh. Hình hoa bốn cánh trên hình 60 được tạo bởi một hình vuông và tâm của cung là tâm của đường tròn chứa cung đó). Hãy vẽ lại hình 60 vào vở.

Giải bài tập SGK Toán lớp 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn

Hình 60

b) Vẽ lọ hoa. Chiếc lọ hoa trên hình 61 được vẽ trên giấy kẻ ô vuông bởi năm cung có tâm A, B, C, D, E. Hãy vẽ lại hình 61 vào giấy kẻ ô vuông.

Hình 61

Lời giải:

a) Cách vẽ:

  • Vẽ hình vuông ABCD.
  • Vẽ cung tròn tâm A, bán kính là cạnh hình vuông. Cung tròn này đi qua B, D.
  • Tương tự với các cung tròn còn lại. Ta được bốn cung tròn tạo thành hình hoa bốn cánh.

b) Cách vẽ:

  • Kẻ lại các ô vuông và lấy các điểm như hình 61.
  • Lần lượt vẽ các cung tròn có tâm là các điểm A, B, C, D, E và bán kính là đường chéo của ô vuông. Ta được năm cung tròn liền nét với nhau tạo thành hình chiếc lọ hoa.

Qua bài viết này, chúng ta đã thực hành giải các bài tập trong SGK Toán 9 bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn. Hy vọng rằng những phần giải đều sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn về sự xác định đường tròn và tính chất đối xứng của đường tròn. Đừng ngần ngại thực hiện các bài tập và nâng cao khả năng giải toán của mình. Chúc các bạn thành công!

1