Sự Quan Hệ Song Song Trong Toán 11 - Ôn Tập Chương 2: Đường Thẳng và Mặt Phẳng trong Không Gian

Bài 1: Giao điểm của đường thẳng (CD) và mặt phẳng (MNP) Cho tứ diện (ABCD). Ta gọi (M, N) lần lượt là trung điểm của (AC) và (BC). Trên đoạn (BD), lấy điểm (P)...

Bài 1: Giao điểm của đường thẳng (CD) và mặt phẳng (MNP)

Cho tứ diện (ABCD). Ta gọi (M, N) lần lượt là trung điểm của (AC) và (BC). Trên đoạn (BD), lấy điểm (P) sao cho (BP = 3PD).

a) Để tìm giao điểm của đường thẳng (CD) với mặt phẳng (MNP), ta có:

Giao điểm của đường thẳng (CD) với mặt phẳng (MNP) Hình minh họa

Trong tam giác (BCD), gọi (E = CD ∩ NP). Khi đó, ta có (E ∈ CD, E ∈ NP ⊆ MNP) hoặc (E = CD ∩ MNP).

b) Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (MNP), ta có:

Trong tam giác (ACD), gọi (Q = AD ∩ ME). Khi đó, ta có (MNP ∩ ABD = PQ).

Bài 2: Vị trí của điểm (E) trên (AD)

Cho tứ diện (ABCD). Ta gọi (I, J) lần lượt là trung điểm của (BC) và (BD), (E) là một điểm thuộc cạnh (AD) (E khác (A) và (D)).

a) Để xác định thiết diện của tứ diện với (IJE), ta có:

Thiết diện của tứ diện với (IJE) Hình minh họa

Ta có (F ∈ IJF ∩ ACD, IJ ⊆ IJF, CD ⊆ ACD, IJ || CD). Kết quả là tứ giác (IJEF).

b) Để tìm vị trí của điểm (E) trên (AD) sao cho thiết diện là hình bình hành, ta có:

Để thiết diện (IJEF) là hình bình hành, ta cần (IJ || EF), mà (IJ = 1/2 CD). Do đó, (EF || CD) và (E) là trung điểm của (AD).

c) Để tìm điều kiện của tứ diện (ABCD) và vị trí của điểm (E) trên (AD) sao cho thiết diện là hình thoi, ta có:

Để thiết diện (IJEF) là hình thoi, trước tiên nó phải là hình bình hành. Khi đó, (E) là trung điểm của (AD). Ngoài ra, (IJEF) cũng phải là hình thoi, nghĩa là (IJ = IF), mà (IJ = 1/2 CD, IF = 1/2 AB). Do đó, (AB = CD).

Vậy, điều kiện để thiết diện là hình thoi là tứ diện (ABCD) có (AB = CD) và (E) là trung điểm của (AD).

Bài 3: Thiết diện của hình chóp cắt bởi hình thang và đường thẳng

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình bình hành và (M, N, P) lần lượt là trung điểm các cạnh (AB, CD, SA).

a) Để chứng minh (SBN) || (DPM), ta có:

Chứng minh (SBN) || (DPM) Hình minh họa

Ta có (BN || DM, DM ⊆ DPM) và (BS || MP, MP ⊆ DPM). Từ đó suy ra (SBN) || (DPM).

b) Để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) đi qua (Q) và song song với (SBN), ta có:

Ta có (SB ⊆ (SBN), (α) || (SBN)). Vì vậy, (Q ∈ (SAB) ∩ (α), SB ⊆ (SAB), SB || (α)), từ đó suy ra (SAB) ∩ (α) = QR || SB, R ∈ AB.

Tương tự, (α ∩ (ABCD) = RK || BN, K ∈ CD) và (α ∩ (SCD) = KL || SB, L ∈ SD).

Vậy, thiết diện là tứ giác (QRKL).

c) Để xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (β) đi qua (MN) song song với (SAD), ta có:

Thiết diện của hình chóp cắt bởi đường thẳng (β) Hình minh họa

Ta có (M ∈ (β) ∩ (SAB), SA || (β), SA ⊆ (SAB)), từ đó suy ra (β ∩ (SAB) = MF || SA, F ∈ SB).

Tương tự, (β ∩ (SCD) = NE || SD, E ∈ SC).

Thiết diện là hình thang (MNEF).

1