1. Tổng quan lý thuyết về mệnh đề
Theo sách giáo khoa Đại số lớp 10, mệnh đề là một câu khẳng định có tính đúng sai. Trong toán học, một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
2. Mệnh đề tương đương
2.1. Các mệnh đề nền tảng của mệnh đề tương đương
Để hiểu bản chất của mệnh đề tương đương, chúng ta cần nắm vững các loại mệnh đề nền tảng như mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo.
2.1.1. Mệnh đề kéo theo
Mệnh đề kéo theo ký hiệu là P⇒Q. Mệnh đề P⇒Q được phát biểu bằng lời là: "Nếu P thì Q", "vì P nên Q", "P suy ra Q".
Ví dụ về mệnh đề kéo theo: Cho hai mệnh đề A: "3 chia hết cho 2" và B: "4 là số chẵn". Khi đó, A⇒B được phát biểu là: "Nếu 3 chia hết cho 2 thì 4 là số chẵn".
Tính đúng sai của mệnh đề kéo theo:
Xét ví dụ sau: Cho mệnh đề P: "Tôi có 1 triệu đồng", Q: "Số 3 là số nguyên tố". Khi đó mệnh đề PQ được phát biểu là: "Nếu tôi có 1 triệu đồng thì số 3 là số nguyên tố". Ở ví dụ trên, ta thấy P⇒Q phát biểu thành lời có vẻ như là một mệnh đề sai. Tuy nhiên, đôi khi mệnh đề P⇒Q hơi khó nhận biết được giá trị chân lý khi phát biểu thành lời. Từ đó suy ra, tính đúng sai của mệnh đề kéo theo được xét thông qua quy tắc: Mệnh đề PQ chỉ sai khi P đúng và Q sai.
2.1.2. Mệnh đề đảo
Ta có mệnh đề kéo theo P⇒Q. Khi đó, mệnh đề Q⇒P chính là mệnh đề đảo của mệnh đề kéo theo P⇒Q đã cho.
Các em cùng VUIHOC xét ví dụ sau để hiểu rõ hơn về mệnh đề đảo: Cho mệnh đề "Nếu tam giác vuông thì bình phương cạnh huyền của tam giác đó bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông." Mệnh đề đảo của mệnh đề trên được phát biểu là: "Nếu tam giác có bình phương của 1 cạnh bằng tổng bình phương của 2 cạnh còn lại, tam giác đó chính là tam giác vuông". Xét thấy, mệnh đề trên chính là phát biểu của định lý Pi-ta-go. Như vậy, mệnh đề đã cho là mệnh đề đúng.
2.2. Định nghĩa mệnh đề tương đương
Mệnh đề tương đương bản chất là một trường hợp đặc biệt của mệnh đề đảo. Mệnh đề tương đương được phát biểu bằng lời như sau: "Nếu mệnh đề thuận P⇒Q và mệnh đề đảo Q⇒P đều đúng, khi ấy P và Q được gọi là 2 mệnh đề tương đương", ký hiệu là P⇔Q. Có 4 cách đọc mệnh đề tương đương như sau:
- P tương đương với Q.
- P khi và chỉ khi Q.
- P nếu và chỉ nếu Q.
- P là điều kiện cần và đủ của Q.
Các em cùng xét ví dụ dưới đây để hiểu hơn về mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P: "Tứ giác tồn tại 3 góc vuông". Mệnh đề Q: "Tứ giác là hình chữ nhật". Mệnh đề tương đương PQ là: "Tứ giác có 3 góc vuông khi và chỉ khi tứ giác là hình chữ nhật".
3. Tổng hợp bài tập mệnh đề tương đương chọn lọc
Câu 1: Cho tam giác ABC, xét mệnh đề sau đây:
- P: "Tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A"
- Q: "Tam giác ABC là tam giác vuông có cạnh AB=AC" Phát biểu mệnh đề tương đương của P và Q bằng 2 cách. Cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
Câu 2: Xét tính đúng sai của các mệnh đề dưới đây. Nếu mệnh đề sai, hãy sửa lại để trở thành mệnh đề đúng:
- Tam giác ABC đều Tam giác ABC có ít nhất 1 góc bằng 60 độ.
- Phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép ∆ = b² - 4ac = 0.
- Tam giác ABC cân tại A Hai đường cao BE và CF của tam giác có độ dài bằng nhau.
- ∀ a, b ∈ R: a > b ⇒ a > c là mệnh đề đúng.
Câu 3: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A. Tổng của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. B. Tích của hai số tự nhiên là một số chẵn khi và chỉ khi cả hai số đều là số chẵn. C. Tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ. D. Tích của hai số tự nhiên là một số lẻ khi và chỉ khi cả hai số đều là số lẻ.
Câu 4: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai? A. "ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC cân." B. "ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC cân và có một góc 60 độ." C. "ABC là tam giác đều ⇔ ABC là tam giác có ba cạnh bằng nhau." D. "ABC là tam giác đều ⇔ Tam giác ABC có hai góc bằng 60 độ."
Câu 5: Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ": a) Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.
Đăng ký khóa học DUO để được lên lộ trình ôn thi tốt nghiệp sớm nhất!
Trên đây là tổng hợp lý thuyết cùng với bộ bài tập có hướng dẫn chi tiết về mệnh đề tương đương. Các em học sinh có thể lấy đây làm tài liệu tham khảo, vận dụng và ghi nhớ để thành thạo hơn trong dạng mệnh đề này. Ngoài ra, để học thêm nhiều kiến thức Toán lớp 10 và Toán THPT, truy cập ngay vuihoc.vn hoặc đăng ký khoá học tại đây ngay nhé!
